Un exercice complet - Solution 4

1. La fonction `f` est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, pour tout réel \(x\) , \(f'(x)=\dfrac{1}{3} \times 3x^2-\dfrac{3}{2} \times 2x-4\) soit    \(f'(x)=x^2-3x-4\) .

2. a. La tangente `\mathcal{C}` a pour équation \(y=f'(0)(x-0)+f(0)\) .

Or \(f(0)=\dfrac{1}{3} \times 0^3-\dfrac{3}{2} \times 0^2-4\times 0+3=3\)  et \(f'(0)=0^2-3 \times 0- 4=-4\) .

La tangente \(\mathcal{T}\) a donc pour équation \(y=-4(x-0)+3\) soit  \(y=-4x+3\) .

    b. Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

On cherche donc s'il existe une tangente à la courbe `\mathcal{C}` de coefficient directeur \(-4\) autre que la tangente \(\mathcal{T}\) .

Pour cela, on résout l'équation \(f'(x)=-4\) :

\(f'(x)=-4\)

\(\iff x^2-3x-4=-4\)

\(\iff x^2-3x=0\)

\(\iff x(x-3)=0\)

\(\iff x=0 \text{ ou } x=3\)

Il existe donc deux tangentes à la courbe `\mathcal{C}` de coefficient directeur–4, la tangente \(\mathcal{T}\) et la tangente au point d'abscisse 3.

Il existe donc une tangente à la courbe  `\mathcal{C}`  strictement parallèle à  \(\mathcal{T}\) , c'est la tangente au point d'abscisse 3.

3. a. Pour tout réel \(x\) , \((x+1)(x-4)=x^2-4x+x-4=x^2-3x-4\) donc \(f'(x)=(x+1)(x-4)\) .

    b.

    c.

\(f(-1)=\dfrac{1}{3}\times (-1)^3-\dfrac{3}{2} \times (-1)^2-4\times (-1)+3=-\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{2}+7=-\dfrac{2}{6}-\dfrac{9}{6}+\dfrac{42}{6}=\dfrac{31}{6}\)

\(f(4)=\dfrac{1}{3}\times 4^3-\dfrac{3}{2}\times 4^2-4\times 4+3=\dfrac{64}{3}-24-16+3=\dfrac{64}{3}-37=\dfrac{64}{3}-\dfrac{111}{3}=-\dfrac{47}{3}\)

On peut aussi calculer ces images à l'aide de la calculatrice.